Bài tập 26, § 3

Cho X là một không gian tôpô compact và E là một không gian Banach phức, có chuẩn được ký hiệu là $\|\cdot \|_E$. Ta ký hiệu $\mathscr{C}(X,E)$ là không gian vectơ phức của các hàm liên tục từ X vào E.

a) Được trang bị chuẩn

$\|f\|=$ sup$_{x\in X}\|f(x)\|_E$,

không gian $\mathscr{C}(X,E)$ là một không gian Banach.

b) Cho B là không gian con vectơ của $\mathscr{C}(X,E)$ sinh bởi các hàm $x\mapsto f(x)y$, trong đó $f\in \mathscr{C}(X)$ và $y\in E$. Bây giờ chứng minh rằng B trù mật trong $\mathscr{C}(X,E)$.

Trong phần tiếp theo, ta xét một đại số Banach giao hoán A.

c) Được trang bị phép nhân $(f g)(x) =f(x)g(x)$ với mọi $x\in X$, không gian Banach $\mathscr{C}(X,A)$ là một đại số Banach giao hoán.

d) Mọi đặc trưng $\chi \in \mathsf{X}(\mathscr{C}(X,A))$ đều có dạng $f\mapsto \widetilde{\chi}(f(x))$, trong đó $\widetilde{\chi}\in \mathsf{X}(A)$ và $x\in X$. (Trước hết xét trường hợp A có đơn vị và $\|1\|= 1$ ; xét hạn chế của $\chi$ lên $\mathscr{C}(X)\cdot 1$ và lên ảnh của đồng cấu $A\rightarrow \mathscr{C}(X,A)$ gửi $a$ đến hàm hằng $x\mapsto a$).

e) Ánh xạ từ $\mathsf{X}(A)\times X$ vào $\mathsf{X}(\mathscr{C}(X,A))$ mà gửi $(\widetilde{\chi , x})$ đến đặc trưng $f\mapsto \widetilde{\chi}(f(x))$ là một phép đồng phôi.