Exercice 26, § 3

Soient X un espace topologique compact et E un espace de Banach complexe, dont on note $\|\cdot \|_E$ la norme. On note $\mathscr{C}(X,E)$ l’espace vectoriel complexe des fonctions continues de X dans E.

a) Muni de la norme

$\|f\|=$ sup$_{x\in X}\|f(x)\|_E$,

l’espace $\mathscr{C}(X,E)$ est un espace de Banach.

b) Soit B le sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}(X,E)$ engendré par les fonctions $x\mapsto f(x)y$, où $f\in \mathscr{C}(X)$ et $y\in E$. Montrer que B est dense dans $\mathscr{C}(X,E)$.

Dans la suite, on considère une algèbre de Banach commutative A.

c) Muni de la multiplication $(f g)(x) =f(x)g(x)$ pour tout $x\in X$, l’espace de Banach $\mathscr{C}(X,A)$ est une algèbre de Banach commutative.

d) Tout caractère $\chi \in \mathsf{X}(\mathscr{C}(X,A))$ est de la forme $f\mapsto \widetilde{\chi}(f(x))$, où $\widetilde{\chi}\in \mathsf{X}(A)$ et $x\in X$. (Traiter d’abord le cas où A est unifère et $\|1\|= 1$ ; considérer la restriction de $\chi$ à $\mathscr{C}(X)\cdot 1$ et à l’image de l’homomorphisme $A\rightarrow \mathscr{C}(X,A)$ qui envoie $a$ sur la fonction constante $x\mapsto a$).

e) L’application de $\mathsf{X}(A)\times X$ dans $\mathsf{X}(\mathscr{C}(X,A))$ qui à $(\widetilde{\chi , x})$ associe le caractère $f\mapsto \widetilde{\chi}(f(x))$ est un homéomorphisme.