Bài tập 27, § 3

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị trên $\mathbf{C}$. Một tập hợp đóng F của $\mathsf{X}(A)$ được gọi là một biên của A nếu ta có

sup$_{\chi\in\mathsf{X}(A)}|\chi (x)|=$ sup$_{\chi\in F}|\chi (x)|$

với mọi $x\in A$.

a) Sắp xếp tập hợp các biên của A theo quan hệ bao hàm. Tồn tại một biên cực tiểu.

b) Cho S là một biên cực tiểu của A. Mọi biên của A đều chứa S, do đó S là giao của tất cả các biên của A. (Cho F là một biên của A; bây giờ chứng minh rằng với mọi $x\in S$, mọi lân cận U của $x$ đều giao với F; dùng cho việc này sự kiện rằng S - U không phải là một biên của A.)

Ta nói rằng S là biên Shilov của A, và ký hiệu nó bởi $\partial A$.

c) Nếu ảnh của biến đổi Gelfand của A là trù mật trong $\mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$, biên Shilov của A bằng $\mathsf{X}(A)$.

d) Cho A là đại số các hàm liên tục trên đĩa đơn vị Δ của $z\in \mathbf{C}$ sao cho $|z|\leqslant 1$ và chỉnh hình ở phần trong của Δ (ví dụ 9 của I, p. 20). Khi đó $\mathsf{X}(A)$ đồng nhất với Δ (bài tập 6 của I, p. 193) và biên Shilov của A đồng nhất với đường tròn đơn vị $\mathbf{U}$.