Exercice 27, § 3

Soit A une algèbre de Banach commutative unifère sur $\mathbf{C}$. Un sous-ensemble fermé F de $\mathsf{X}(A)$ est appelé un bord de A si on a

sup$_{\chi\in\mathsf{X}(A)}|\chi (x)|=$ sup$_{\chi\in F}|\chi (x)|$

pour tout $x\in A$.

a) Ordonnons l’ensemble des bords de A par l’inclusion. Il existe un bord minimal.

b) Soit S un bord minimal de A. Tout bord de A contient S, donc S est l’intersection de tous les bords de A. (Soit F un bord de A ; montrer que pour tout $x\in S$, tout voisinage U de $x$ rencontre F ; utiliser pour cela le fait que S - U n’est pas un bord de A.)

On dit que S est le bord de Shilov de A, et on le note $\partial A$.

c) Si l’image de la transformation de Gelfand de A est dense dans $\mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$, le bord de Shilov de A est égal à $\mathsf{X}(A)$.

d) Soit A l’algèbre des fonctions continues sur le disque unité Δ des $z\in \mathbf{C}$ tels que $|z|\leqslant 1$ qui sont holomorphes à l’intérieur de Δ (exemple 9 de I, p. 20). Alors $\mathsf{X}(A)$ s’identifie à Δ (exercice 6 de I, p. 193) et le bord de Shilov de A s’identifie au cercle unité $\mathbf{U}$.