Bài tập 3, § 3

Cho Λ là một tập hợp, $p\in [1,+\infty [$, và $A =\ell^p(\Lambda )$ là tập hợp các họ $x= (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$, trong đó $x_{\lambda}\in \mathbf{C}$ và

a) Đối với phép cộng và phép nhân theo từng thành phần, và chuẩn $x\mapsto \|x\|_p$, không gian A là một đại số Banach.

b) Ta có $A^2\not= A$ và $A^2$ trù mật trong A.

c) Không gian $\mathsf{X}(A)$ của các đặc trưng khác không của A được đồng nhất một cách tự nhiên với Λ được trang bị tôpô rời rạc. (Dùng sự kiện rằng đối ngẫu của $\ell^p(\Lambda )$ là $\ell^q(\Lambda )$, trong đó $q$ là số mũ liên hợp của $p.$) Khi đó biến đổi Gelfand trở thành ánh xạ đồng nhất và ảnh của nó trong không gian các hàm liên tục trên Λ tiến tới 0 ở vô cùng là trù mật và không đóng.