Exercice 3, § 3

Soient Λ un ensemble, $p\in [1,+\infty [$, et $A =\ell^p(\Lambda )$ l’ensemble des familles $x= (x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$, où $x_{\lambda}\in \mathbf{C}$ et

a) Pour l’addition et la multiplication composante par composante, et la norme $x\mapsto \|x\|_p$, l’espace A est une algèbre de Banach.

b) On a $A^2\not= A$ et $A^2$ est dense dans A.

c) L’espace $\mathsf{X}(A)$ des caractères non nuls de A s’identifie naturellement à Λ muni de la topologie discrète. (Utiliser le fait que le dual de $\ell^p(\Lambda )$ est $\ell^q(\Lambda )$, où $q$ est l’exposant conjugué de $p.$) La transformation de Gelfand devient alors l’application identique et son image dans l’espace des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini sur Λ est dense et non fermée.