Bài tập 4, § 3

Cho $(\alpha_n)_{n\geqslant 0}$ là một dãy trong $\mathbf{R}_+^*$ sao cho $\alpha_0= 1,\alpha_{m+n}\leqslant \alpha_m\alpha_n$ với mọi số nguyên $m$ và $n$, và sao cho $\alpha^{1/n}_n\rightarrow 0$. Gọi A là tập hợp các chuỗi hình thức

$x=\sum_{n=0}^{\infty}x_nz^n\in \mathbf{C}[[z]]$ sao cho

Chứng minh rằng A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị được sinh tôpô bởi $z$, và iđêan cực đại duy nhất của A là tập hợp các $x\in A$ không có số hạng hằng. (Nhận thấy rằng $z$ là lũy linh giả.)