Exercice 4, § 3

Soit $(\alpha_n)_{n\geqslant 0}$ une suite dans $\mathbf{R}_+^*$ telle que $\alpha_0= 1,\alpha_{m+n}\leqslant \alpha_m\alpha_n$ pour tous entiers $m$ et $n$, et telle que $\alpha^{1/n}_n\rightarrow 0$. Soit A l’ensemble des séries

formelles $x=\sum_{n=0}^{\infty}x_nz^n\in \mathbf{C}[[z]]$ telles que

Montrer que A est une algèbre de Banach commutative unifère engendrée topologiquement par $z$, et que l’unique idéal maximal de A est l’ensemble des $x\in A$ sans terme constant. (Observer que $z$ est quasi-nilpotent.)