Bài tập 8, § 3

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị sao cho $\|1\|= 1$. Gọi N là tập hợp các chuẩn tương đương với chuẩn đã cho, sao cho A vẫn là một đại số Banach, và sao cho 1 có chuẩn 1.

a) Cho $x_0\in A$ sao cho $\varrho (x_0)<1$. Với mọi $x\in A$, đặt:

$\|x\|'=$ inf $\sum_n\|a_n\|$

trên tất cả các biểu diễn của $x$ dưới dạng $a_0+a_1x_0+\cdots +a_nx^n_0$ (với $a_0, a_1, . . . , a_n\in A$). Bây giờ chứng minh rằng $x\mapsto \|x\|'$ là một phần tử của N. (Vì $\varrho (x_0)<1$, tồn tại $k$ sao cho $\|x^n_0\|\leqslant k$ với mọi $n$, do đó $\|x\|\leqslant k\|x\|'.$)

b) Bây giờ chứng minh rằng $\|x_0\|'\leqslant 1$.

c) Suy ra từ a) và b) rằng, với mọi $x\in A$, ta có

$\varrho (x) =$ inf$_{n\in N}n(x)$.

d) Nếu phần tử duy nhất của N là chuẩn đã cho, thì $A =\mathbf{C}\cdot 1$. (Dùng c) và Bài tập 7.)