Exercice 8, § 3

Soit A une algèbre de Banach unifère commutative telle que $\|1\|= 1$. Soit N l’ensemble des normes équivalentes à la norme donnée, pour lesquelles A est encore une algèbre de Banach, et pour lesquelles 1 est de norme 1.

a) Soit $x_0\in A$ tel que $\varrho (x_0)<1$. Pour tout $x\in A$, on pose :

$\|x\|'=$ inf $\sum_n\|a_n\|$

pour toutes les représentations de $x$ sous la forme $a_0+a_1x_0+\cdots +a_nx^n_0$ (avec $a_0, a_1, . . . , a_n\in A$). Montrer que $x\mapsto \|x\|'$ est un élément de N. (Comme $\varrho (x_0)<1$, il existe $k$ tel que $\|x^n_0\|\leqslant k$ pour tout $n$, d’où $\|x\|\leqslant k\|x\|'.$)

b) Montrer que $\|x_0\|'\leqslant 1$.

c) Déduire de a) et b) que, pour tout $x\in A$, on a

$\varrho (x) =$ inf$_{n\in N}n(x)$.

d) Si le seul élément de N est la norme donnée, on a $A =\mathbf{C}\cdot 1$. (Utiliser c) et l’exerc. 7.)