Bài tập 1, § 4

Cho $n\geqslant 1$ là một số nguyên và $A =\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$. Cho $\alpha \in \mathbf{C}$ và cho $x\in A$ là một phần tử mà ma trận của nó đối với cơ sở chính tắc của $\mathbf{C}^n$ là một ma trận Jordan cấp $n$ và có trị riêng $\alpha$ (A, VII, p. 34, định nghĩa 3). Phổ của $x$ thu gọn thành $\alpha$.

a) Với $f\in \mathscr{O}(\{\alpha \})$, hãy tính ma trận đối với cơ sở chính tắc của $\mathbf{C}^n$ biểu diễn $f(x)$.

Cho $m\geqslant 1$ là một số nguyên. Cho $B_m$ là đại số Banach có đơn vị của các mầm bậc của các hàm thuộc lớp $C^m$ trong một lân cận của $\alpha$ được trang bị tôpô của sự hội tụ đều $C^m$ (VAR, R2, §12).

b) Tồn tại một cấu xạ liên tục của các đại số có đơn vị từ $B_{m-1}$ vào A sao cho $\varphi (z) =x$, trong đó $z\in B_{m-1}$ là mầm cấp $m-1$ tại $\alpha$ của hàm đồng nhất của $\mathbf{C}$.

c) Không tồn tại một cấu xạ liên tục $\varphi$ của các đại số có đơn vị từ $B_m$ vào A sao cho $\varphi (z) =x$, trong đó $z\in B_m$ là mầm của hàm đồng nhất của $\mathbf{C}$.