Exercice 1, § 4

Soient $n\geqslant 1$ un entier et $A =\mathscr{L}(\mathbf{C}^n)$. Soient $\alpha \in \mathbf{C}$ et $x\in A$ un élément dont la matrice relative à la base canonique de $\mathbf{C}^n$ est une matrice de Jordan d’ordre $n$ et de valeur propre $\alpha$ (A, VII, p. 34, déf. 3). Le spectre de $x$ est réduit à $\alpha$.

a) Pour $f\in \mathscr{O}(\{\alpha \})$, calculer la matrice relative à la base canonique de $\mathbf{C}^n$ qui représente $f(x)$.

Soit $m\geqslant 1$ un entier. Soit $B_m$ l’algèbre de Banach unifère des jets de fonctions de classe $C^m$ au voisinage de $\alpha$ munie de la topologie de la $C^m$-convergence uniforme (VAR, R2, §12).

b) Il existe un morphisme continu d’algèbres unifères de $B_{m-1}$ dans A tel que $\varphi (z) =x$, où $z\in B_{m-1}$ est le jet d’ordre $m-1$ en $\alpha$ de la fonction identique de $\mathbf{C}$.

c) Il n’existe pas de morphisme continu $\varphi$ d’algèbres unifères de $B_m$ dans A tel que $\varphi (z) =x$, où $z\in B_m$ est le jet de la fonction identique de $\mathbf{C}$.