Bài tập 10, § 4

Cho Δ là đĩa $|z|\leqslant 1$ trong $\mathbf{C}$. Cho A là không gian các hàm $f$ liên tục trong Δ và chỉnh hình trong phần trong của Δ, và sao cho tồn tại một dãy khả tổng $(c_n)$ các số phức thỏa mãn

với mọi $z\in \Delta$. Khi đó ta đặt $\|f\|=\sum_n|c_n|$.

a) Được trang bị phép nhân $(f, g)\mapsto f g$, không gian A là một đại số Banach có đơn vị và $z$ là một phần tử sinh tôpô của A.

b) Không gian $\mathsf{X}(A)$ được đồng nhất với Δ; nếu $f\in A$ và nếu $g$ chỉnh hình trong một lân cận mở của $f(\Delta )$, thì $g\circ f\in A$.