Exercice 10, § 4

Soit Δ le disque $|z|\leqslant 1$ dans $\mathbf{C}$. Soit A l’espace des fonctions $f$ qui sont continues dans Δ et holomorphes dans l’intérieur de Δ, et telles qu’il existe une suite $(c_n)$ sommable de nombres complexes vérifiant

pour tout $z\in \Delta$. On note alors $\|f\|=\sum_n|c_n|$.

a) Muni de la multiplication $(f, g)\mapsto f g$, l’espace A est une algèbre de Banach unifère et $z$ est un générateur topologique de A.

b) L’espace $\mathsf{X}(A)$ s’identifie à Δ ; si $f\in A$ et si $g$ est holomorphe dans un voisinage ouvert de $f(\Delta )$, alors $g\circ f\in A$.