Bài tập 17, § 4

Cho $X_1$ (tương ứng $X_2$) là tập hợp các $(z_1, z_2)\in \mathbf{C}^2$ sao cho

$\frac{1}{2}\leqslant |z_1|^2+|z_2|^2\leqslant 1$, tương ứng $|z_1|^2+|z_2|^2\leqslant 1$.

Đặt $X = X_1\cup \{(0,0)\} \subset \mathbf{C}^2$. Đặt $A =\mathscr{C}(X)$, và gọi $a_1, a_2$ là các hạn chế lên X của các hàm tọa độ trên $\mathbf{C}^2$.

a) Phổ đồng thời Sp$^2_A(a_1, a_2)$ bằng X.

b) Xây dựng hai cấu xạ có đơn vị liên tục phân biệt từ $\mathscr{O}(X)$ vào A biến $z_1$ thành $a_1$ và $z_2$ thành $a_2$. (Sử dụng định lý sau đây: với mọi hàm $f$ chỉnh hình trong một lân cận của $X_1$, tồn tại một hàm $g$ chỉnh hình trong một lân cận của $X_2$ trùng với $f$ trong một lân cận của $X_1($x. I, p. 168, bài tập 14).)