Exercice 17, § 4

Soit $X_1$ (resp. $X_2$) l’ensemble des $(z_1, z_2)\in \mathbf{C}^2$ tels que

$\frac{1}{2}\leqslant |z_1|^2+|z_2|^2\leqslant 1$, resp. $|z_1|^2+|z_2|^2\leqslant 1$.

Soit $X = X_1\cup \{(0,0)\} \subset \mathbf{C}^2$. Soient $A =\mathscr{C}(X)$, et $a_1, a_2$ les restrictions à X des fonctions coordonnées sur $\mathbf{C}^2$.

a) Le spectre simultané Sp$^2_A(a_1, a_2)$ est égal à X.

b) Construire deux morphismes unifères continus distincts de $\mathscr{O}(X)$ dans A transformant $z_1$ en $a_1$ et $z_2$ en $a_2$. (Utiliser le théorème suivant : pour toute fonction $f$ holomorphe dans un voisinage de $X_1$, il existe une fonction $g$ holomorphe dans un voisinage de $X_2$ qui coïncide avec $f$ dans un voisinage de $X_1($cf. I, p. 168, exerc. 14).)