Bài tập 18, § 4

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị.

a) Với mọi họ hữu hạn I các phần tử của A, đặt $S(I)\subset \mathbf{C}^I$ là phổ đồng thời của I. Nếu $I'$ mở rộng I, toàn cấu chính tắc pr$_{I,I'}$ của $\mathbf{C}^{I'}$ lên $\mathbf{C}^I$ thỏa mãn pr$_{I,I'}(S(I')) = S(I)$, do đó có một cấu xạ đơn ánh $\varphi_{II'}$ của $\mathscr{O}(S(I))$ vào $\mathscr{O}(S(I'))$. Gọi $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ là giới hạn quy nạp của các $\mathscr{O}(S(I))$ đối với các $\varphi_{II'}$ (ta đánh chỉ số các họ hữu hạn các phần tử của A bởi các tập con hữu hạn của $A\times \mathbf{N}$). Các ánh xạ chính tắc

là đơn ánh.

Ta sẽ trang bị cho $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ tôpô giới hạn quy nạp của các tôpô của $\mathscr{O}(S(I))$. Với mọi $a\in A$, hàm tọa độ trong lân cận của $S(a)\subset \mathbf{C}$ định nghĩa một phần tử $z_a$ của $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$.

b) Toàn cấu liên tục $\mathsf{X}(A)\rightarrow$ S(I) định nghĩa một cấu xạ liên tục $\mathscr{C}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$. Các cấu xạ $\mathscr{O}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$ định nghĩa một cấu xạ liên tục:

Cấu xạ này nói chung không đơn ánh.

c) Tồn tại một cấu xạ duy nhất liên tục có đơn vị $\psi$ của $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ vào A sao cho $\psi (z_a) =a$ với mọi $a\in A$. (Dùng định lý 1 của I, p. 51.) Hợp của nó với biến đổi Gelfand là $\varphi$.

d) Cho E là một không gian lồi địa phương tách được, U là một tập con mở yếu của E và $f: U\rightarrow \mathbf{C}$ là một hàm. Ta nói rằng $f$ là chỉnh hình yếu nếu, với mọi $u\in U$, tồn tại một lân cận mở yếu $V_u$ của $u$, một không gian con vectơ đóng có đối chiều hữu hạn $F_u$ của E, và một hàm chỉnh hình $g_u$ trên $p_u(V_u)$, trong đó $p_u$ là ánh xạ chính tắc của E lên $E/F_u$, sao cho $f|V_u=g_u\circ p_u$.

Chứng minh rằng nếu $f$ là chỉnh hình yếu, và nếu K là một tập con compact yếu của U, thì tồn tại một lân cận mở yếu $V_K$ của K trong U, một không gian con vectơ đóng có đối chiều hữu hạn $F_K$ của E, và một hàm chỉnh hình $g_K$ trên $p_K(V_K)$ sao cho $f|V_K=g_K\circ p_K$, trong đó $p_K$ là ánh xạ chính tắc của E lên $E/F_K$.

e) Chứng minh rằng $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ là giới hạn quy nạp của các $\mathscr{O}(S)$, trong đó S chạy qua tập hợp các lân cận mở yếu của $\mathsf{X}(A)$ trong đối ngẫu của A, và trong đó $\mathscr{O}(S)$ ký hiệu đại số các hàm chỉnh hình yếu trong S, được trang bị tôpô hội tụ compact.