Exercice 18, § 4

Soit A une algèbre de Banach unifère commutative.

a) Pour toute famille finie I d’éléments de A, soit $S(I)\subset \mathbf{C}^I$ le spectre simultané de I. Si $I'$ prolonge I, la surjection canonique pr$_{I,I'}$ de $\mathbf{C}^{I'}$ sur $\mathbf{C}^I$ est telle que pr$_{I,I'}(S(I')) = S(I)$, d’où un morphisme injectif $\varphi_{II'}$ de $\mathscr{O}(S(I))$ dans $\mathscr{O}(S(I'))$. Soit $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ la limite inductive des $\mathscr{O}(S(I))$ relativement aux $\varphi_{II'}$ (on indexe les familles finies d’éléments de A par les parties finies de $A\times \mathbf{N}$). Les applications canoniques

sont injectives.

On munira $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ de la topologie limite inductive de celles des $\mathscr{O}(S(I))$. Pour tout $a\in A$, la fonction coordonnée au voisinage de $S(a)\subset \mathbf{C}$ définit un élément $z_a$ de $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$.

b) La surjection continue $\mathsf{X}(A)\rightarrow$ S(I) définit un morphisme continu $\mathscr{C}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$. Les morphismes $\mathscr{O}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(S(I))\rightarrow \mathscr{C}(\mathsf{X}(A))$ définissent un morphisme continu :

Ce morphisme est non injectif en général.

c) Il existe un unique morphisme unifère continu $\psi$ de $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ dans A tel que $\psi (z_a) =a$ pour tout $a\in A$. (Utiliser le th. 1 de I, p. 51.) Son composé avec la transformation de Gelfand est $\varphi$.

d) Soient E un espace localement convexe séparé, U une partie faiblement ouverte de E et $f: U\rightarrow \mathbf{C}$ une fonction. On dit que $f$ est faiblement holomorphe si, pour tout $u\in U$, il existe un voisinage faiblement ouvert $V_u$ de $u$, un sous-espace vectoriel fermé $F_u$ de codimension finie de E, et une fonction holomorphe $g_u$ sur $p_u(V_u)$, où $p_u$ désigne l’application canonique de E sur $E/F_u$, tels que $f|V_u=g_u\circ p_u$.

Montrer que si $f$ est faiblement holomorphe, et si K est une partie faiblement compacte de U, il existe un voisinage faiblement ouvert $V_K$ de K dans U, un sous-espace vectoriel fermé $F_K$ de codimension finie de E, et une fonction holomorphe $g_K$ sur $p_K(V_K)$ tels que $f|V_K=g_K\circ p_K$, où $p_K$ est l’application canonique de E sur $E/F_K$.

e) Montrer que $\mathscr{O}(\mathsf{X}(A))$ est la limite inductive des $\mathscr{O}(S)$, où S parcourt l’ensemble des voisinages faiblement ouverts de $\mathsf{X}(A)$ dans le dual de A, et où $\mathscr{O}(S)$ désigne l’algèbre des fonctions faiblement holomorphes dans S, munie de la topologie de la convergence compacte.