Bài tập 3, § 4

Cho $A$ là một đại số Banach có đơn vị, $G$ là nhóm các phần tử khả nghịch của $A$ và $G_1$ là thành phần đơn vị của G.

a) Cho $x\in A$ và $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ sao cho $x^n=e$. Bây giờ chứng minh rằng $x\in G_1$. (Phổ của $x$ là hữu hạn. Tập hợp các $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $y(\lambda ) =\lambda x+e-\lambda e$ là khả nghịch có phần bù hữu hạn, do đó là liên thông. Khi đó, $y(0) =e,y(1) =x.$)

b) Giả sử rằng A là giao hoán. Mọi phần tử của $G/G_1$ phân biệt với phần tử đơn vị đều có cấp vô hạn. (Nếu $x\in G$ và $x^n\in G_1$, ta có $x^n=$ exp($y$) với một $y\in A$ theo No.$^o10$ của I, p. 78, do đó $(x$ exp($-y/n$))$^n=e$. Áp dụng a).)