Exercice 3, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère, G le groupe des éléments inversibles de A et $G_1$ la composante neutre de G.

a) Soient $x\in A$ et $n$ un entier $\geqslant 0$ tel que $x^n=e$. Montrer que $x\in G_1$. (Le spectre de $x$ est fini. L’ensemble des $\lambda \in \mathbf{C}$ tels que $y(\lambda ) =\lambda x+e-\lambda e$ soit inversible est de complémentaire fini, donc connexe. Or, $y(0) =e,y(1) =x.$) b) On suppose A commutative. Tout élément de $G/G_1$ distinct de l’élément neutre est d’ordre infini. (Si $x\in G$ et $x^n\in G_1$, on a $x^n=$ exp($y$) avec un $y\in A$ d’après le n$^o10$ de I, p. 78, d’où $(x$ exp($-y/n$))$^n=e$. Appliquer a).)