Bài tập 5, § 4

Cho $A$ là một đại số Banach có đơn vị và $a\in A$. Cho G là nhóm các phần tử khả nghịch của A và $G_1$ là thành phần trung hòa của G. Phổ mũ của A là tập hợp các $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $x-\lambda e$ không thuộc $G_1($xem Mệnh đề 12 của I, p. 79).

a) Phổ mũ của $a$ là đóng; nó chứa phổ của $a$.

b) Biên của phổ mũ của $a$ được chứa trong phổ kỳ dị của $a$ (bài tập 16 của I, p. 158).

c) Phổ mũ của $a$ là hợp của phổ của $a$ và của một số thành phần liên thông bị chặn của $\mathbf{C}-$ Sp($a$).

d) Cho $f\in \mathbf{C}[X]$ là một đa thức. Ảnh bởi $f$ của phổ mũ của $a$ chứa phổ mũ của $f(a)$. Nói chung, phép chứa là ngặt (dùng lý thuyết Fredholm, xem III, sắp xuất hiện).