Exercice 5, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère et $a\in A$. Soient G le groupe des éléments inversibles de A et $G_1$ la composante neutre de G. Le spectre exponentiel de A est l’ensemble des $\lambda \in \mathbf{C}$ tels que $x-\lambda e$ n’appartienne pas à $G_1($cf. prop. 12 de I, p. 79).

a) Le spectre exponentiel de $a$ est fermé ; il contient le spectre de $a$.

b) La frontière du spectre exponentiel de $a$ est contenue dans le spectre singulier de $a$ (exercice 16 de I, p. 158).

c) Le spectre exponentiel de $a$ est la réunion du spectre de $a$ et de certaines composantes connexes bornées de $\mathbf{C}-$ Sp($a$).

d) Soit $f\in \mathbf{C}[X]$ un polynôme. L’image par $f$ du spectre exponential de $a$ contient le spectre exponentiel de $f(a)$. En général, l’inclusion est stricte (utiliser la théorie de Fredholm, cf. III, à paraître).