Bài tập 6, § 4

Cho A là một đại số Banach giao hoán có đơn vị.

a) Nếu $j$ là một phần tử lũy đẳng của A, ta có exp(2$i\pi j$) $= 1$ và exp($i\pi j$) $= 1-2j$. b) Cho $p\in A$ sao cho exp($p$) $= 1$. Khi đó Sp$_A(p)$ gồm một số hữu hạn điểm có dạng $2in\pi$, trong đó $n\in \mathbf{Z}$.

c) Với $\lambda \notin$ Sp$_A(p)$, ta có:

$\int_0^1$ exp($t(p-\lambda 1)$)$dt= (1-$ exp($-\lambda$ ))$(\lambda 1-p)^{-1}$. d) Suy ra rằng mọi điểm của Sp$_A(p)$ là một cực đơn của giải thức $R(p, \lambda )$, rồi suy ra rằng tồn tại một số nguyên $m\geqslant 0$, các số nguyên $n_k\in \mathbf{Z}$ và các phần tử lũy đẳng trực giao từng đôi một $j_k$, với $1\leqslant k\leqslant m$, sao cho