Exercice 6, § 4

Soit A une algèbre de Banach commutative unifère.

a) Si $j$ est un idempotent de A, on a exp(2$i\pi j$) $= 1$ et exp($i\pi j$) $= 1-2j$. b) Soit $p\in A$ tel que exp($p$) $= 1$. Alors Sp$_A(p)$ se compose d’un nombre fini de points de la forme $2in\pi$, où $n\in \mathbf{Z}$.

c) Pour $\lambda \notin$ Sp$_A(p)$, on a :

$\int_0^1$ exp($t(p-\lambda 1)$)$dt= (1-$ exp($-\lambda$ ))$(\lambda 1-p)^{-1}$. d) En déduire que tout point de Sp$_A(p)$ est pôle simple de la résolvante $R(p, \lambda )$, puis qu’il existe un entier $m\geqslant 0$, des entiers $n_k\in \mathbf{Z}$ et des idempotents deux à deux orthogonaux $j_k$, pour $1\leqslant k\leqslant m$, tels que