Bài tập 7, § 4

a) Cho $B$ là một không gian Banach phức và $j$ là một điểm của $B$ sao cho $\|j\|= 1$. Với mọi $x\in B$, giới hạn

1

lim $(\|j+\alpha x\| -1)$

$\alpha \alpha >\rightarrow 00\alpha$

tồn tại. Gọi $\varphi (x)$ là giới hạn này.

b) Cho

$\psi (x) =$ sup$_{|\varepsilon\varepsilon\in|=1\mathbf{C}}\varphi (\varepsilon x)$.

Hàm $\psi$ là một nửa chuẩn bị chặn trên bởi chuẩn của $B$. Ta có

$\psi (x) =$ sup$_f|f(x)|$,

trong đó $f$ chạy qua tập hợp các phần tử của đối ngẫu của $B$ sao cho $\|f\|=f(j) = 1$.

c) Bây giờ giả sử rằng $B$ là một đại số Banach và $j= 1$ là một phần tử đơn vị của $B$. Ta có:

$\varphi (x) =$ lim$_{\alpha\alpha >\rightarrow 00}\frac{1}{\alpha}$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$) $=$ sup$_{\alpha >0}\frac{1}{\alpha}$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$).

(Hãy lưu ý rằng log($\|$exp(($\alpha +\alpha '$)$x$)$\|$)$\leqslant$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$) $+$ log($\|$exp($\alpha 'x$)$\|$).)

d) Dùng c), chứng minh rằng $\|$exp($\lambda x$)$\|\leqslant$ exp($|\lambda |\psi (x)$). Bằng cách lấy tích phân $\lambda \mapsto \lambda^{-2}$ exp($\lambda x$) trên đường tròn được xác định bởi $|\lambda |=\varrho$, suy ra rằng

$\|x\|\leqslant \varrho^{-1}$ exp($\varrho \psi (x)$),

do đó, khi đặt $\varrho =\psi (x)^{-1}$, ta được $\|x\|\leqslant e\psi (x)$, trong đó $e=$ exp(1).

e) Với mọi $x$ khác không của $B$, tồn tại một dạng tuyến tính $f\in B'$ sao cho $f(1) =\|f\|= 1$ và $f(x)\not= 0$.