Exercice 7, § 4

a) Soient B un espace de Banach complexe et $j$ un point de B tel que $\|j\|= 1$. Pour tout $x\in B$, la limite

1

lim $(\|j+\alpha x\| -1)$

$\alpha \alpha >\rightarrow 00\alpha$

existe. Soit $\varphi (x)$ cette limite.

b) Soit

$\psi (x) =$ sup$_{|\varepsilon\varepsilon\in|=1\mathbf{C}}\varphi (\varepsilon x)$.

La fonction $\psi$ est une semi-norme majorée par la norme de B. On a

$\psi (x) =$ sup$_f|f(x)|$,

où $f$ parcourt l’ensemble des éléments du dual de B tels que $\|f\|=f(j) = 1$. c) On suppose désormais que B est une algèbre de Banach et que $j= 1$ est un élément unité de B. On a :

$\varphi (x) =$ lim$_{\alpha\alpha >\rightarrow 00}\frac{1}{\alpha}$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$) $=$ sup$_{\alpha >0}\frac{1}{\alpha}$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$).

(Observer que log($\|$exp(($\alpha +\alpha '$)$x$)$\|$)$\leqslant$ log($\|$exp($\alpha x$)$\|$) $+$ log($\|$exp($\alpha 'x$)$\|$).) d) En utilisant c), montrer que $\|$exp($\lambda x$)$\|\leqslant$ exp($|\lambda |\psi (x)$). En intégrant $\lambda \mapsto \lambda^{-2}$ exp($\lambda x$) sur le cercle déterminé par $|\lambda |=\varrho$, en déduire que

$\|x\|\leqslant \varrho^{-1}$ exp($\varrho \psi (x)$),

d’où, en posant $\varrho =\psi (x)^{-1}$, que $\|x\|\leqslant e\psi (x)$, où $e=$ exp(1).

e) Pour tout $x$ non nul de B, il existe une forme linéaire $f\in B'$ telle que $f(1) =\|f\|= 1$ et $f(x)\not= 0$.