Bài tập 8, § 4

Cho A là một đại số Banach có đơn vị, $x\in A$, và B là đại số con của A sinh bởi $x$. Để Sp$_A(x)$ là một tập hợp hữu hạn mà mọi phần tử của nó đều là các cực của giải thức của $x$, điều kiện cần và đủ là B có số chiều hữu hạn. (Để chứng minh rằng điều kiện là cần, nếu $R(x, \lambda ) =\sum_{i=1}^pF_i(\lambda )a_i$, trong đó $a_i\in A$ và $F_i$ là một hàm hữu tỉ vô hướng, khai triển của $R(x, \lambda )$ xung quanh $\lambda =\infty$ cho thấy rằng các $x^n$ là các tổ hợp tuyến tính của các $a_i.$)