Exercice 8, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère, $x\in A$, et B la sous-algèbre de A engendrée par $x$. Pour que Sp$_A(x)$ soit un ensemble fini dont tous les éléments sont pôles de la résolvante de $x$, il faut et il suffit que B soit de dimension finie. (Pour montrer que la condition est nécessaire, si $R(x, \lambda ) =\sum_{i=1}^pF_i(\lambda )a_i$, où $a_i\in A$ et où $F_i$ est une fonction rationnelle scalaire, le développement de $R(x, \lambda )$ autour de $\lambda =\infty$ montre que les $x^n$ sont combinaisons linéaires des $a_i.$)