Bài tập 6, § 4

Cho $E =\ell^2(\mathbf{N})$ và $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là cơ sở trực chuẩn chính tắc của E. Cho $u$ là tự đồng cấu đường chéo của E sao cho $u(e_0) =e_0$ và $u(e_n) = 2e_n$ nếu $n\geqslant 1$. Bây giờ chứng minh rằng $((u)) = 1$ và rằng $u+h$ là một tự đồng cấu Fredholm với mọi $h$ sao cho $\|h\|<2$.