Exercice 6, § 4

Soient $E =\ell^2(\mathbf{N})$ et $(e_n)_{n\in\mathbf{N}}$ la base orthonormale canonique de E. Soit $u$ l’endomorphisme diagonal de E tel que $u(e_0) =e_0$ et $u(e_n) = 2e_n$ si $n\geqslant 1$. Montrer que $((u)) = 1$ et que $u+h$ est un endomorphisme de Fredholm pour tout $h$ tel que $\|h\|<2$.