Bài tập 7, § 4

Cho E và F là các không gian Banach và cho $u$ là một phần tử của $\mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$ (tương ứng của $\mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$). Cho $h$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E; F)$. Giả sử tồn tại các số thực dương $a$ và $b$ sao cho $a+b((u))^{-1}<1$ sao cho

với mọi $x\in E$.

Chứng minh rằng $u+h\in \mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$ (tương ứng $u+h\in \mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$) và

dim Ker($u+h$)$\leqslant$ dim Ker($u$),

dim Coker($u+h$)$\leqslant$ dim Coker($u$),

ind($u+h$) $=$ ind($u$).

(Rút gọn về trường hợp $a$ và $b$ là $>0$ và cho $c >0$ sao cho $a+b/c <1$; xét chuẩn $p$ trên E được xác định bởi

$p(x) =a\|u(x)\|+b\|x\|$ với $x\in E$,

và $E_1$ là không gian Banach E được trang bị chuẩn $p$; ta có $\mathscr{Q}\mathscr{M}(E_1; F) =\mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$, $\mathscr{Q}\mathscr{E}(E_1; F) =\mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$ và $\mathscr{L}(E_1; F) =\mathscr{L}(E; F)$. Áp dụng khi đó bổ đề 2 của III, p. 62.)