Exercice 7, § 4

Soient E et F des espaces de Banach et $u$ un élément de $\mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$ (resp. de $\mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$). Soit $h$ un élément de $\mathscr{L}(E; F)$. Supposons qu’il existe des nombres réels positifs $a$ et $b$ tels que $a+b((u))^{-1}<1$ de sorte que

pour tout $x\in E$.

Démontrer que $u+h\in \mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$ (resp. $u+h\in \mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$) et

dim Ker($u+h$)$\leqslant$ dim Ker($u$),

dim Coker($u+h$)$\leqslant$ dim Coker($u$),

ind($u+h$) $=$ ind($u$).

(Se ramener au cas où $a$ et $b$ sont $>0$ et soit $c >0$ tel que $a+b/c <1$; considérer la norme $p$ sur E définie par

$p(x) =a\|u(x)\|+b\|x\|$ pour $x\in E$,

et $E_1$ l’espace de Banach E muni de la norme $p$; on a $\mathscr{Q}\mathscr{M}(E_1; F) =\mathscr{Q}\mathscr{M}(E; F)$, $\mathscr{Q}\mathscr{E}(E_1; F) =\mathscr{Q}\mathscr{E}(E; F)$ et $\mathscr{L}(E_1; F) =\mathscr{L}(E; F)$. Appliquer alors le lemme 2 de III, p. 62.)