Bài tập 9, § 4

Cho $r\geqslant 1$ là một số nguyên. Nếu $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ lớp $C^r$ của các đa tạp lớp $C^r$, ta nói rằng $x\in M_1$ là một điểm tới hạn của $f$ nếu $f$ không là một phép ngập tại $x$ (VAR, R1, 5.9.1). Gọi X là tập hợp các điểm tới hạn của $f$. Tập hợp $f(X)$ trong $M_2$ được gọi là tập hợp các giá trị tới hạn của $f$, và $f(M_1)-f(X)$ được gọi là tập hợp các giá trị chính quy của $f$.

Nếu $M_1$ và $M_2$ là các đa tạp thực lớp $C^r$ (VAR, R1, 5.1.5, p. 35), một cấu xạ đa tạp $f: M_1\rightarrow M_2$, lớp $C^r$, được gọi là Fredholm nếu, với mọi $x\in M_1$, ánh xạ tuyến tính tiếp xúc $T_x(f)$ là một tự đồng cấu Fredholm của không gian Banach $T_x(M_1)$ vào không gian Banach $T_{f(x)}(M_2)$. a) Cho $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ Fredholm. Nếu $M_1$ liên thông, chỉ số ind(T$_x(f)$) là độc lập với $x\in M_1$. Nó được gọi là chỉ số của cấu xạ Fredholm $f$ và được ký hiệu bởi ind($f$).

b) Cho U là một tập con mở của một không gian Banach E sao cho $0\in U$ và cho F là một không gian Banach. Cho $f: U\rightarrow F$ là một cấu xạ Fredholm lớp $C^r$ và cho $u= T_0(f)$. Tồn tại một không gian Banach $E_1$, một biểu đồ $(U_1, \varphi ,E_1\times$Ker($u$)) của U sao cho $0\in U_1$, một biểu đồ $(U_2, \psi ,E_1\times$ Coker($u$)) của F sao cho $f(0)\in U_2$ và một cấu xạ Fredholm $g:\varphi (U_1)\rightarrow E_1\times$ Coker($u$) lớp $C^r$ sao cho

với mọi $(a, b)\in \varphi (U_1)\subset E_1\times$ Ker($u$).

c) Cho $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ Fredholm lớp $C^r$ giữa các đa tạp lớp $C^r$. Với mọi $y\in M_2$, tồn tại một lân cận mở V của $y$ sao cho $f$ xác định, bằng cách chuyển qua các không gian con, một ánh xạ thực sự $\overset{-1}{f}(V)\rightarrow V$.

d) Cho U là một tập mở của một không gian Banach E chứa 0 và cho F là một không gian Banach. Cho $f: U\rightarrow F$ là một cấu xạ Fredholm thuộc lớp $C^{\infty}$. Với mọi $x\in U$ và mọi lân cận V của $f(x)$ trong F, tồn tại một giá trị chính quy của $f$ trong V. (Sử dụng định lý Sard thứ hai, VAR, R2, 10.1.3, p. 37.) e) Cho $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ Fredholm thuộc lớp $C^{\infty}$ của các đa tạp thuộc lớp $C^{\infty}$. Nếu $M_1$ và $M_2$ thừa nhận các cơ sở đếm được, thì tập hợp các giá trị tới hạn của $f$ là không lớn ("định lý Smale").

f) Cho $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ Fredholm thuộc lớp $C^{\infty}$ của các đa tạp thuộc lớp $C^{\infty}$ thừa nhận các cơ sở đếm được. Nếu ind($f$)$<0$, thì ảnh của $f$ có phần trong rỗng.

g) Cho $f: M_1\rightarrow M_2$ là một cấu xạ Fredholm thuộc lớp $C^{\infty}$ của các đa tạp thuộc lớp $C^{\infty}$ thừa nhận các cơ sở đếm được. Với mọi $y\in M_2$ nằm ngoài

$-1$

của một tập hợp không lớn, tập hợp $f(y)$ là một đa tạp con thuần có chiều ind($f$).