Exercice 9, § 4

Soit $r\geqslant 1$ un entier. Si $f: M_1\rightarrow M_2$ est un morphisme de classe $C^r$ de variétés de classe $C^r$, on dit que $x\in M_1$ est un point critique de $f$ si $f$ n’est pas une submersion en $x$ (VAR, R1, 5.9.1). Soit X l’ensemble des points critiques de $f$. L’ensemble $f(X)$ dans $M_2$ est appelé ensemble des valeurs critiques de $f$, et $f(M_1)-f(X)$ est appelé ensemble des valeurs régulières de $f$.

Si $M_1$ et $M_2$ sont des variétés réelles de classe $C^r$ (VAR, R1, 5.1.5, p. 35), un morphisme de variétés $f: M_1\rightarrow M_2$, de classe $C^r$, est dit de Fredholm si, pour tout $x\in M_1$, l’application linéaire tangente $T_x(f)$ est un endomorphisme de Fredholm de l’espace de Banach $T_x(M_1)$ vers l’espace de Banach $T_{f(x)}(M_2)$. a) Soit $f: M_1\rightarrow M_2$ un morphisme de Fredholm. Si $M_1$ est connexe, l’indice ind(T$_x(f)$) est indépendant de $x\in M_1$. On l’appelle l’indice du morphisme de Fredholm $f$ et on le note ind($f$).

b) Soit U un ouvert d’un espace de Banach E tel que $0\in U$ et soit F un espace de Banach. Soit $f: U\rightarrow F$ un morphisme de Fredholm de classe $C^r$ et soit $u= T_0(f)$. Il existe un espace de Banach $E_1$, une carte $(U_1, \varphi ,E_1\times$Ker($u$)) de U telle que $0\in U_1$, une carte $(U_2, \psi ,E_1\times$ Coker($u$)) de F telle que $f(0)\in U_2$ et un morphisme de Fredholm $g:\varphi (U_1)\rightarrow E_1\times$ Coker($u$) de classe $C^r$ tels que

pour tout $(a, b)\in \varphi (U_1)\subset E_1\times$ Ker($u$).

c) Soit $f: M_1\rightarrow M_2$ un morphisme de Fredholm de classe $C^r$ entre variétés de classe $C^r$. Pour tout $y\in M_2$, il existe un voisinage ouvert V de $y$ tel que $f$ définit par passage aux sous-espaces une application propre $\overset{-1}{f}(V)\rightarrow V$.

d) Soit U un ouvert d’un espace de Banach E contenant 0 et soit F un espace de Banach. Soit $f: U\rightarrow F$ un morphisme de Fredholm de classe $C^{\infty}$. Pour tout $x\in U$ et tout voisinage V de $f(x)$ dans F, il existe une valeur régulière de $f$ dans V. (Utiliser le second théorème de Sard, VAR, R2, 10.1.3, p. 37.) e) Soit $f: M_1\rightarrow M_2$ un morphisme de Fredholm de classe $C^{\infty}$ de variétés de classe $C^{\infty}$. Si $M_1$ et $M_2$ admettent des bases dénombrables, alors l’ensemble des valeurs critiques de $f$ est maigre (« théorème de Smale »).

f) Soit $f: M_1\rightarrow M_2$ un morphisme de Fredholm de classe $C^{\infty}$ de variétés de classe $C^{\infty}$ admettant des bases dénombrables. Si ind($f$)$<0$, alors l’image de $f$ est d’intérieur vide.

g) Soit $f: M_1\rightarrow M_2$ un morphisme de Fredholm de classe $C^{\infty}$ de variétés de classe $C^{\infty}$ admettant des bases dénombrables. Pour tout $y\in M_2$ en dehors

$-1$

d’un ensemble maigre, l’ensemble $f(y)$ est une sous-variété pure de dimension ind($f$).