Bài tập 1, § 5

Cho $E$ là một không gian lồi địa phương.

(a) Giả sử rằng mọi lân cận của 0 trong $E$ chứa một không gian con vectơ của $E$ có đối chiều hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng không gian $\mathscr{F}(E)$ gồm các tự đồng cấu Fredholm của $E$ không đóng trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô của hội tụ bị chặn.

(b) Cho một ví dụ về một không gian Fréchet vô hạn chiều sao cho mọi lân cận của 0 chứa một không gian con vectơ của $E$ có đối chiều hữu hạn. (c) Cho $E_{\sigma}$ là một không gian Banach vô hạn chiều được trang bị tôpô yếu. Tập hợp $\mathscr{F}(E_{\sigma})$ không mở trong $\mathscr{L}(E_{\sigma})$.