Exercice 1, § 5

Soit E un espace localement convexe.

a) Supposons que tout voisinage de 0 dans E contient un sous-espace vectoriel de E de codimension finie. Montrer que l’espace $\mathscr{F}(E)$ des endomorphismes de Fredholm de E n’est pas fermé dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence bornée.

b) Donner un exemple d’espace de Fréchet de dimension infinie tel que tout voisinage de 0 contienne un sous-espace vectoriel de E de codimension finie. c) Soit $E_{\sigma}$ un espace de Banach de dimension infinie muni de la topologie affaiblie. L’ensemble $\mathscr{F}(E_{\sigma})$ n’est pas ouvert dans $\mathscr{L}(E_{\sigma})$.