Bài tập 11, § 5

Cho $E =\ell^2(\mathbf{N})$ và $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của E. Ta định nghĩa $u\in \mathscr{L}(E)$ bởi $u(e_i) =e_{i+1}$ với $i\in \mathbf{N}$. Cho $F = E\oplus E$ và $v=u\oplus (u^*+ 2\cdot 1_E)\in \mathscr{L}(F)$. Cho $\overline{v}=\pi (v)$ là ảnh của $v$ trong đại số Calkin $\mathscr{C}$alk(F).

(a) Tự đồng cấu $v$ là một tự đồng cấu Fredholm có chỉ số $-1$, và $v-2\cdot 1_E$ là một tự đồng cấu Fredholm có chỉ số 1.

(b) Cho $p= X(X-2)\in \mathbf{C}[X]$ và cho S là phổ mũ của $\overline{v}$ (Bài tập 5 của I, p. 173). Ta có $0\in p(S)$ nhưng 0 không thuộc phổ mũ của $p(\overline{v})$. (Sử dụng Bài tập 3.)