Exercice 11, § 5

Soit $E =\ell^2(\mathbf{N})$ et soit $(e_n)$ la base canonique de E. On définit $u\in \mathscr{L}(E)$ par $u(e_i) =e_{i+1}$ pour $i\in \mathbf{N}$. Soient $F = E\oplus E$ et $v=u\oplus (u^*+ 2\cdot 1_E)\in \mathscr{L}(F)$. Soit $\overline{v}=\pi (v)$ l’image de $v$ dans l’algèbre de Calkin $\mathscr{C}$alk(F).

a) L’endomorphisme $v$ est un endomorphisme de Fredholm d’indice $-1$, et $v-2\cdot 1_E$ est un endomorphisme de Fredholm d’indice 1.

b) Soit $p= X(X-2)\in \mathbf{C}[X]$ et soit S le spectre exponentiel de $\overline{v}$ (exercice 5 de I, p. 173). On a $0\in p(S)$ mais 0 n’appartient pas au spectre exponentiel de $p(\overline{v})$. (Utiliser l’exercice 3.)