Bài tập 2, § 5

Cho $E$ là một không gian Banach có chiều vô hạn và $u\in \mathscr{L}(E)$. Ký hiệu $S(u)$ là tập hợp các số phức $\lambda$ sao cho tồn tại một số thực $\delta >0$ và một không gian con F có đối chiều hữu hạn của E sao cho $\|u(x)-\lambda x\|\geqslant \delta \|x\|$ với mọi $x\in F$.

a) Tập hợp $S(u)$ là mở trong $\mathbf{C}$ và chứa phần bù trong $\mathbf{C}$ của phổ của $u$.

b) Nếu $\lambda \in S(u)$, tự đồng cấu $u-\lambda 1_E$ có ảnh đóng và hạt nhân có số chiều hữu hạn.

c) Phần bù $F(u) =\mathbf{C}-S(u)$ là không rỗng. (Bây giờ chứng minh rằng một phần tử của Sp$_e(u)$ có môđun cực đại thuộc về $F(u).$)