Exercice 2, § 5

Soient E un espace de Banach de dimension infinie et $u\in \mathscr{L}(E)$. On note $S(u)$ l’ensemble des nombres complexes $\lambda$ tels qu’il existe un nombre réel $\delta >0$ et un sous-espace F de codimension finie de E tels que $\|u(x)-\lambda x\|\geqslant \delta \|x\|$ pour tout $x\in F$.

a) L’ensemble $S(u)$ est ouvert dans $\mathbf{C}$ et contient le complémentaire dans $\mathbf{C}$ du spectre de $u$.

b) Si $\lambda \in S(u)$, l’endomorphisme $u-\lambda 1_E$ a une image fermée et un noyau de dimension finie.

c) Le complémentaire $F(u) =\mathbf{C}-S(u)$ n’est pas vide. (Montrer qu’un élément de Sp$_e(u)$ de module maximal appartient à $F(u).$)