Bài tập 3, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức có chiều vô hạn.

(a) Đại số có phép đối hợp $\mathscr{C}$alk(E) là một đại số sao.

(b) Cho $u$ là một phần tử của $\mathscr{L}(E)$ sao cho $u^*u$ là compact. Bây giờ chứng minh rằng $u$ là compact.

(c) Cho G là nhóm các phần tử khả nghịch trong $\mathscr{C}$alk(E) và cho $G_0$ là thành phần trung hòa của nó. Cho $p: G\rightarrow G/G_0$ là phép chiếu chính tắc. Tồn tại một đẳng cấu nhóm duy nhất $\alpha :\mathbf{Z}\rightarrow G/G_0$ sao cho $\alpha$(ind($u$)) $=p(\pi (u))$ với mọi tự đồng cấu Fredholm $u$ của E.