Exercice 3, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe de dimension infinie.

a) L’algèbre involutive $\mathscr{C}$alk(E) est une algèbre stellaire.

b) Soit $u$ un élément de $\mathscr{L}(E)$ tel que $u^*u$ soit compact. Montrer que $u$ est compact.

c) Soient G le groupe des éléments inversibles dans $\mathscr{C}$alk(E) et $G_0$ sa composante neutre. Soit $p: G\rightarrow G/G_0$ la projection canonique. Il existe un unique isomorphisme de groupes $\alpha :\mathbf{Z}\rightarrow G/G_0$ tel que $\alpha$(ind($u$)) $=p(\pi (u))$ pour tout endomorphisme de Fredholm $u$ de E.