Bài tập 4, § 5

Cho $E$ là một không gian Hilbert phức. Với mọi phần tử khả nghịch $\xi$ của $\mathscr{C}$alk(E), chỉ số của $\xi$ được gọi là chỉ số của mọi tự đồng cấu Fredholm $u$ của $E$ sao cho $\pi (u) =\xi$. a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) Hermit, tồn tại $u\in \mathscr{L}(E)$ Hermit sao cho $\pi (u) =\xi$.

b) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) unita có chỉ số không, tồn tại $u\in \mathscr{L}(E)$ unita sao cho $\pi (u) =\xi$. (Cho $v$ là khả nghịch sao cho $\pi (v) =\xi$; xét phân tích cực $v=j|v|$ của $v$ và kiểm tra rằng $|v| -1_E$ là compact, sau đó suy ra rằng $v-j$ là compact.)

c) Bây giờ chứng minh rằng với mọi $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) unita sao cho $\xi^2= 1$, tồn tại $u\in \mathscr{L}(E)$ unita sao cho $u^2= 1$ và $\pi (u) =\xi$.

d) Với mọi phần tử $p\in \mathscr{C}$alk(E) sao cho $p^2=p$, tồn tại một phép chiếu $P\in \mathscr{L}(E)$ sao cho $\pi (P) =p$.