Exercice 4, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. Pour tout élément inversible $\xi$ de $\mathscr{C}$alk(E), on appelle indice de $\xi$ l’indice de tout endomorphisme de Fredholm $u$ de E tel que $\pi (u) =\xi$. a) Montrer que pour tout $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) hermitien, il existe $u\in \mathscr{L}(E)$ hermitien tel que $\pi (u) =\xi$.

b) Montrer que pour tout $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) unitaire d’indice nul, il existe $u\in \mathscr{L}(E)$ unitaire tel que $\pi (u) =\xi$. (Soit $v$ inversible tel que $\pi (v) =\xi$; considérer la décomposition polaire $v=j|v|$ de $v$ et vérifier que $|v| -1_E$ est compact, puis en déduire que $v-j$ est compact.)

c) Montrer que pour tout $\xi \in \mathscr{C}$alk(E) unitaire tel que $\xi^2= 1$, il existe $u\in \mathscr{L}(E)$ unitaire tel que $u^2= 1$ et $\pi (u) =\xi$.

d) Pour tout élément $p\in \mathscr{C}$alk(E) tel que $p^2=p$, il existe un projecteur $P\in \mathscr{L}(E)$ tel que $\pi (P) =p$.