Bài tập 5, § 5

Cho $E$ là một không gian Hilbert phức.

a) Cho $n$ là một số nguyên với $n\geqslant 2$. Ta ký hiệu $I =\mathbf{N}\times \{0, . . . , n\}$. Cho $(\sigma_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ là họ các hoán vị của $I$ được xác định bởi

$\sigma_i(m, i) = (m-1, i)$ với $m\geqslant 1$

$\sigma_i(m, i-1) = (m+ 1, i-1)$ với $m\geqslant 0$

$\sigma_i(m, j) = (m, j)$ với $m\geqslant 0$ và $j \notin \{i, i-1\}$.

b) Ta ký hiệu $(e_{m,i})$ là cơ sở trực chuẩn chính tắc của $\ell^2(I)$. Cho $u_i$ là tự đồng cấu của $\ell^2(I)$ sao cho $u_i(e_{m,j}) =e_{\sigma_i(m,j)}$ với mọi $(m, j)\in I$. Tự đồng cấu $u_i$ là unita.

c) Các phần tử $\pi (u_i)$ giao hoán từng đôi một.

d) Không tồn tại một họ $(v_1, . . . , v_n)$ các tự đồng cấu unita của $E$, giao hoán từng đôi một, sao cho $\pi (v_i) =\pi (u_i)$ với mọi $i$.