Exercice 5, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe.

a) Soit $n$ un entier avec $n\geqslant 2$. On note $I =\mathbf{N}\times \{0, . . . , n\}$. Soit $(\sigma_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ la famille de permutations de I définie par

$\sigma_i(m, i) = (m-1, i)$ pour $m\geqslant 1$

$\sigma_i(m, i-1) = (m+ 1, i-1)$ pour $m\geqslant 0$

$\sigma_i(m, j) = (m, j)$ pour $m\geqslant 0$ et $j \notin \{i, i-1\}$.

b) On note $(e_{m,i})$ la base orthonormale canonique de $\ell^2(I)$. Soit $u_i$ l’endomorphisme de $\ell^2(I)$ tel que $u_i(e_{m,j}) =e_{\sigma_i(m,j)}$ pour tout $(m, j)\in I$. L’endomorphisme $u_i$ est unitaire.

c) Les éléments $\pi (u_i)$ sont deux à deux permutables.

d) Il n’existe pas de famille $(v_1, . . . , v_n)$ d’endomorphismes unitaires de E, deux à deux permutables, tels que $\pi (v_i) =\pi (u_i)$ pour tout $i$.