Bài tập 6, § 5

Cho E là một không gian Hilbert phức. Nhắc lại rằng $\mathscr{C}$alk(E) là một đại số sao (bài tập 3).

Cho $\mathfrak{F}$ là một siêu lọc không chính trên $\mathbf{N}$. Cho F là không gian vectơ của các dãy bị chặn trong E hội tụ yếu về 0 theo $\mathfrak{F}$ và $F_0$ là không gian con của F tạo bởi các dãy hội tụ theo chuẩn về 0 theo $\mathfrak{F}$. Ta đặt $\widetilde{H} = F/F_0$. a) Với mọi phần tử $x= (x_n)$ và $y= (y_n)$ của F, bây giờ chứng minh rằng dãy $(\langle x_n|y_n\rangle )_{n\in\mathbf{N}}$ hội tụ theo $\mathfrak{F}$. Ta ký hiệu giới hạn của nó bởi $\langle x|y\rangle_F$.

b) Bây giờ chứng minh rằng $(x, y)\mapsto \langle x|y\rangle_F$ là một dạng Hermit dương trên F, và rằng $\langle x|x\rangle_F= 0$ khi và chỉ khi $x\in F_0$; dạng Hermit này do đó xác định trên $\widetilde{H}$ một cấu trúc không gian tiền Hilbert tách.

c) Cho H là không gian Hilbert hoàn thành của không gian tiền Hilbert tách $\widetilde{H}$. Bây giờ chứng minh rằng với mọi $u$ trong $\mathscr{L}$ (E), ta thu được một phần tử $\varrho (u)$ của $\mathscr{L}(H)$ bằng cách chuyển qua thương từ ánh xạ tuyến tính $(x_n)\mapsto (u(x_n))$ của F. d) Ánh xạ $u\mapsto \varrho (u)$ cảm sinh một cấu xạ đẳng cự của các đại số sao $\mathscr{C}$alk$(E)\rightarrow \mathscr{L}(H)$.

(Ta sẽ thấy sau này rằng mọi đại số sao A đều có một biểu diễn đẳng cự $A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ đối với một không gian Hilbert E nào đó, xem định lý 2 của V, p. 442.)