Exercice 6, § 5

Soit E un espace hilbertien complexe. On rappelle que $\mathscr{C}$alk(E) est une algèbre stellaire (exercice 3).

Soit $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre non principal sur $\mathbf{N}$. Soit F l’espace vectoriel des suites bornées dans E qui convergent faiblement vers 0 selon $\mathfrak{F}$ et $F_0$ le sous-espace de F formé des suites qui convergent en norme vers 0 selon $\mathfrak{F}$. On note $\widetilde{H} = F/F_0$. a) Pour tous éléments $x= (x_n)$ et $y= (y_n)$ de F, montrer que la suite $(\langle x_n|y_n\rangle )_{n\in\mathbf{N}}$ converge selon $\mathfrak{F}$. On note $\langle x|y\rangle_F$ sa limite.

b) Montrer que $(x, y)\mapsto \langle x|y\rangle_F$ est une forme hermitienne positive sur F, et que $\langle x|x\rangle_F= 0$ si et seulement si $x\in F_0$; cette forme hermitienne définit donc sur $\widetilde{H}$ une structure d’espace préhilbertien séparé.

c) Soit H l’espace hilbertien complété de l’espace préhilbertien séparé $\widetilde{H}$. Montrer que pour tout $u$ dans $\mathscr{L}$ (E), on obtient un élément $\varrho (u)$ de $\mathscr{L}(H)$ par passage au quotient à partir de l’application linéaire $(x_n)\mapsto (u(x_n))$ de F. d) L’application $u\mapsto \varrho (u)$ induit un morphisme isométrique d’algèbres stellaires $\mathscr{C}$alk$(E)\rightarrow \mathscr{L}(H)$.

(On verra plus loin que toute algèbre stellaire A possède une représentation isométrique $A\rightarrow \mathscr{L}(E)$ pour un certain espace hilbertien E, cf. th. 2 de V, p. 442.)