Bài tập 7, § 5

Trang bị cho đường tròn đơn vị $\mathbf{S}_1\subset \mathbf{C}$ độ đo Haar chuẩn hóa. Gọi E là không gian Hilbert phức $L^2(\mathbf{S}_1)$. Với $n\in \mathbf{Z}$, gọi $e_n$ là phần tử $z\mapsto z^n$ của E. Gọi $F\subset E$ là không gian con đóng sinh bởi các $e_n$ với $n\geqslant 0$, và gọi $p: E\rightarrow F$ là phép chiếu trực giao. Với $f\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$, ta định nghĩa các ánh xạ tuyến tính $M_f$ (tương ứng $T_f$) của E (tương ứng F) bởi $M_f(g) =f g$ với $g\in E$ và $T_f=p\circ M_f$. Ta gọi $T_f$ là toán tử Toeplitz có ký hiệu $f$.

a) Các ánh xạ tuyến tính $M_f$ và $T_f$ là liên tục. Phổ của $M_f$ là bao đóng của tập các hệ số Fourier $c_n=\langle f|e_n\rangle$ của $f$. Tự đồng cấu $M_f$ là một tự đồng cấu Fredholm khi và chỉ khi nó là một tự đồng cấu Riesz.

b) Các tự đồng cấu $T_{e_n}$ với $n\in \mathbf{Z}$ là các tự đồng cấu Fredholm và ind(T$_{e_n}$) $=-n$ với mọi $n\in \mathbf{Z}$.

c) Ta có $T_{\overline{f}}= T^*_f$ với mọi ánh xạ $f\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$.

d) Nếu $T_f$ là một đẳng cấu, thì $M_f$ là một đẳng cấu và $f$ khả nghịch trong $L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$. Suy ra rằng phổ của $M_f$ được chứa trong phổ của $T_f$ và rằng $\|T_f\|=\|f\|$.

e) Gọi $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ là một ánh xạ liên tục và gọi $g\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$. Các tự đồng cấu $T_fT_g-T_{f g}$ và $T_gT_f-T_{gf}$ là compact. (Trước hết hãy xét trường hợp $f=e_n.$)

f ) Gọi $\mathscr{C}$alk(F) là đại số Calkin của F và $\pi :\mathscr{L}(F)\rightarrow \mathscr{C}$alk(F) là phép chiếu chính tắc. Chứng minh rằng $f\mapsto \pi (T_f)$ là một cấu xạ đơn ánh của các đại số có đối hợp của $\mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ vào $\mathscr{C}$alk(F). (Để chứng minh tính đơn ánh, có thể dùng Mệnh đề 1 của I, p. 31.)

g) Gọi $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$. Khi đó $T_f$ là một tự đồng cấu Fredholm khi và chỉ khi $f$ không triệt tiêu trên $\mathbf{S}_1$. (Dùng Mệnh đề 5 của I, p. 106.)

h) Gọi $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ không triệt tiêu trên $\mathbf{S}_1$. Chỉ số của $T_f$ bằng $n\in \mathbf{Z}$ khi và chỉ khi đường đi $t\mapsto f(e^{2i\pi t})$ trong $\mathbf{C}-\{0\}$ đồng luân với đường đi $t\mapsto e_n(t)$ (xem TA, III, p. 229, def. 1).