Exercice 7, § 5

On munit le cercle unité $\mathbf{S}_1\subset \mathbf{C}$ de la mesure de Haar normalisée. Soit E l’espace hilbertien complexe $L^2(\mathbf{S}_1)$. Pour $n\in \mathbf{Z}$, soit $e_n$ l’élément $z\mapsto z^n$ de E. Soit $F\subset E$ le sous-espace fermé engendré par les $e_n$ pour $n\geqslant 0$, et soit $p: E\rightarrow F$ le projecteur orthogonal. Pour $f\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$, on définit des applications linéaires $M_f$ (resp. $T_f$) de E (resp. F) par $M_f(g) =f g$ pour $g\in E$ et $T_f=p\circ M_f$. On dit que $T_f$ est l’opérateur de Toeplitz de symbole $f$. a) Les applications linéaires $M_f$ et $T_f$ sont continues. Le spectre de $M_f$ est l’adhérence de l’ensemble des coefficients de Fourier $c_n=\langle f|e_n\rangle$ de $f$. L’endomorphisme $M_f$ est un endomorphisme de Fredholm si et seulement si c’est un endomorphisme de Riesz.

b) Les endomorphismes $T_{e_n}$ pour $n\in \mathbf{Z}$ sont des endomorphismes de Fredholm et ind(T$_{e_n}$) $=-n$ pour tout $n\in \mathbf{Z}$.

c) On a $T_{\overline{f}}= T^*_f$ pour toute application $f\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$.

d) Si $T_f$ est un isomorphisme, alors $M_f$ est un isomorphisme et $f$ est inversible dans $L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$. En déduire que le spectre de $M_f$ est inclus dans le spectre de $T_f$ et que $\|T_f\|=\|f\|$.

e) Soient $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ une application continue et $g\in L^{\infty}(\mathbf{S}_1)$. Les endomorphismes $T_fT_g-T_{f g}$ et $T_gT_f-T_{gf}$ sont compacts. (Considérer d’abord le cas où $f=e_n.$)

f ) Soient $\mathscr{C}$alk(F) l’algèbre de Calkin de F et $\pi :\mathscr{L}(F)\rightarrow \mathscr{C}$alk(F) la projection canonique. Montrer que $f\mapsto \pi (T_f)$ est un morphisme injectif d’algèbres involutives de $\mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ dans $\mathscr{C}$alk(F). (Pour montrer l’injectivité, on pourra utiliser la prop. 1 de I, p. 31.)

g) Soit $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$. Alors $T_f$ est un endomorphisme de Fredholm si et seulement si $f$ ne s’annule pas sur $\mathbf{S}_1$. (Utiliser la prop. 5 de I, p. 106.)

h) Soit $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ ne s’annulant pas sur $\mathbf{S}_1$. L’indice de $T_f$ est égal à $n\in \mathbf{Z}$ si et seulement si le chemin $t\mapsto f(e^{2i\pi t})$ dans $\mathbf{C}-\{0\}$ est homotope au chemin $t\mapsto e_n(t) ($cf. TA, III, p. 229, déf. 1).